Conceito de Conjunto (em Matemática)

Ángel Zamora Ramírez | Janeiro 2024
Licenciado em Física

Em matemática, um conjunto é um agrupamento de diferentes elementos que possuem características ou propriedades em comum e que podem operar entre si. Devido à sua natureza, um conjunto é considerado um objeto matemático por si só. Por extensão, é aplicado em múltiplas áreas e graus de complexidade.

Números reais, um grupo de pessoas pertencentes a uma população, uma base de dados de uma empresa, etc. Todos estes são exemplos de coleções de diferentes elementos que podem ser considerados conjuntos matemáticos. Os conjuntos fazem parte do nosso dia a dia e compreendê-los em alguns casos é essencial para a compreensão de outros fenômenos.

Representação de conjuntos

Os conjuntos em matemática são geralmente representados por letras maiúsculas ou outros tipos de símbolos. Suponha que temos um conjunto \(A\) composto por uma coleção de \(n\) elementos denotados como: \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}\). O conjunto \(A\) é então representado como:

\(A = \left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right\}\)

Por exemplo, se o conjunto \(A\) fosse formado pelos números naturais de 1 a 9, seria representado como:

\(A = \left\{ {1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9} \right\}\)

Esta é a forma geral como os conjuntos são representados. No entanto, existem conjuntos muito extensos ou conhecidos que são representados de formas mais simplificadas. Um exemplo disso são os conjuntos numéricos.

Conjuntos numéricos

Os números em matemática podem ser agrupados em conjuntos diferentes, dependendo de algumas características que compartilham entre si. Os principais conjuntos numéricos são:

Números naturais : representados como \(\mathbb{N}\), este conjunto é composto por todos os números inteiros maiores que 0. Em outras palavras, são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é então:

\(\mathbb{N} = \left\{ {1,\;2,\; \ldots ,\infty \;} \right\}\)

Inteiros : Este conjunto, representado como \(\mathbb{Z}\), é composto pelos números naturais, zero e a contraparte negativa dos números naturais, ou seja,:

\(\mathbb{Z} = \left\{ { – \infty , \ldots , – \;2,\; – 1,\;0,\;1,\;2,\; \ldots ,\infty } \right\}\)

Números racionais : Expressos como \(\mathbb{Q}\), este conjunto é composto por todos os números que podem ser expressos como uma divisão, ou razão, entre números inteiros. Ou, dito matematicamente:

\(\mathbb{Q} = \left\{ {q = \frac{a}{b}\;:a,b \in \mathbb{Z}\;,\;b \ne 0} \right\} \)

Números irracionais : Como o próprio nome diz, são números que, ao contrário dos números racionais, não podem ser expressos como uma divisão entre inteiros. Este conjunto pode ser denotado como \({\mathbb{Q}^*}\). Alguns exemplos de números irracionais são \(\sqrt 2 ,\;\pi ,\;e\).

Números reais : O conjunto dos números reais resulta da união entre números racionais e irracionais. Este conjunto é representado como \(\mathbb{R}\) e geralmente envolve todos os números que conhecemos e usamos. Se pode dizer que:

\(\mathbb{R} = \left\{ {n\;:n \in \left( { – \infty ,\infty } \right)} \right\}\)

Números imaginários : Este conjunto é composto pelos números que resultam do produto entre um número real e a unidade imaginária \(i = \sqrt { – 1} \). Podemos representar isso como:

\({\rm{{\rm I}}} = \left\{ {ai\;:a \in \mathbb{R}} \right\}\)

– Números complexos : Representados como \(\mathbb{C}\), este conjunto é composto por todos os números que possuem uma parte real e uma parte imaginária. Pode-se dizer que este é o conjunto numérico principal, pois contém todos os mencionados acima. Temos então isso:

\(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi\;:a,b \in \mathbb{R}} \right\}\)

Operações com conjuntos

Como qualquer objeto matemático, os conjuntos podem operar entre si de diferentes maneiras. Existem várias operações que podem ser feitas entre conjuntos, essas operações são:

União : A união entre dois conjuntos \(A\) e \(B\) é um novo conjunto composto por todos os elementos que se encontram em pelo menos um dos dois conjuntos. Como o próprio nome diz, o sindicato está praticamente unindo os dois conjuntos. Isso é representado como:

\(A \cup B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A \vee n \in B\} \)

Um exemplo disso é o conjunto dos números reais que resulta da união entre números racionais e irracionais.

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup {\mathbb{Q}^*}\)

Ou o conjunto dos números complexos que é a união entre os números reais e os números imaginários.

\(\mathbb{C} = \mathbb{R} \cup {\rm{{\rm I}}}\)

Intersecção : Ao contrário da união, a intersecção entre dois conjuntos é composta por todos os elementos que se encontram em ambos os conjuntos. Quer dizer que:

\(A \cap B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A \wedge n \in B\} \)

Diferença : A diferença entre dois conjuntos \(A\) e \(B\) é definida como o conjunto composto por todos aqueles elementos que pertencem ao conjunto \(A\) mas não são encontrados no conjunto \(B\). \). Portanto, temos: – \(A\backslash B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A\; \wedge n \notin B\} \)

Deve-se notar que a diferença de conjuntos não é comutativa, ou seja: \(A\backslash B \ne B\backslash A\). Um exemplo disso seria o conjunto de inteiros negativos denotados como \({\mathbb{Z}^ – }\) que pode ser obtido da seguinte forma:

\({\mathbb{Z}^ – } = \mathbb{Z}\backslash \mathbb{N}\)

Diferença simétrica : Esta operação entre dois conjuntos \(A\) e \(B\) resulta em um conjunto formado por todos aqueles elementos que se encontram em \(A\) ou \(B\) mas não se encontram em ambos ao mesmo tempo. Isto quer dizer que:

A△B = {n|n∈A\B∨n∈B\A}

Também podemos expressar isso como:

A△B = A∪B – A∩B

Complemento : Se tivermos um conjunto \(A\) contido em um conjunto \(B\), dizemos que o complemento de \(A\), denotado como \({A^c}\), são todos os elementos que pertencem a \(B\) e não são encontrados em \(A\), ou seja:

\({A^c} = B\backslash A\)

Neste caso há equidade entre o conceito de complemento e diferença porque \(A\) é um subconjunto de \(B\).

Subconjuntos

Há momentos em que dentro do mesmo conjunto podemos definir conjuntos menores que são chamados de “subconjuntos”. Um conjunto \(A\) é dito subconjunto de outro conjunto \(B\) se todos os elementos que pertencem a \(A\) também pertencem a \(B\). Isso é denotado como:

\(A \subseteq B\)

O que significa que “\(A\) está contido em \(B\)”. Tomando como exemplo os conjuntos numéricos mencionados anteriormente, temos que:

\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}\)

Artigo de: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado em Física. Cursando Mestrado em Engenharia e Física Biomédica.

Referencia autoral (APA): Zamora Ramírez, A.. (Janeiro 2024). Conceito de Conjunto (em Matemática). Editora Conceitos. Em https://conceitos.com/conjunto/. São Paulo, Brasil.

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