O Princípio de Bernoulli, muitas vezes também chamado de Equação de Bernoulli, é um dos conceitos mais importantes em hidrodinâmica e mecânica dos fluidos. Foi formulado pelo físico e matemático suíço Daniel Bernoulli em 1738 como parte de seu trabalho “Hidrodinâmica” e parte da conservação de energia em um fluido ideal em movimento.
Vamos imaginar a seguinte situação: Temos uma mangueira por onde corre água, que sai da mangueira com uma certa velocidade e uma certa pressão. Em seguida, cobrimos parcialmente o orifício de saída da mangueira com um dedo; fazendo isso vemos como a água agora sai com maior velocidade. Este é um exemplo do princípio de Bernoulli em ação.
O princípio de Bernoulli aplica-se a fluidos ideais em movimento, portanto, antes de explicar este princípio, é importante mencionar o que entendemos por fluido ideal. Um fluido ideal é uma simplificação de um fluido real, isto é feito porque a descrição de um fluido ideal é matematicamente mais simples e nos fornece resultados úteis que podem posteriormente ser estendidos ao caso do fluido real.
Existem quatro suposições feitas para considerar um fluido ideal e todas elas têm a ver com fluxo:
• Fluxo constante: Um fluxo constante é aquele em que a velocidade com que o fluido se move é a mesma em qualquer ponto do espaço. Em outras palavras, assumimos que o fluido não sofre turbulência.
• Incompreensibilidade: Supõe-se também que um fluido ideal é incompreensível, ou seja, que possui densidade constante em todos os momentos.
• Não-viscosidade: A viscosidade é uma propriedade dos fluidos que em termos gerais representa a resistência que o fluido opõe ao movimento. Podemos pensar na viscosidade como análoga ao atrito mecânico.
• Fluxo irrotacional: Com esta suposição queremos dizer que o fluido em movimento não realiza nenhum tipo de movimento circular em torno de qualquer ponto ao longo de seu caminho.
Ao fazer estas suposições e ter um fluido ideal simplificamos muito o tratamento matemático e também garantimos a conservação da energia, que é o ponto de partida para o princípio de Bernoulli.
Vamos considerar um fluido ideal movendo-se através de um tubo conforme mostrado na figura a seguir:
Usaremos agora o Teorema do Trabalho e da Energia Cinética, que é outra forma de expressar a Lei da Conservação da Energia, isso nos diz que:
\(W = {\rm{\Delta }}K\)
Onde \(W\) é o trabalho mecânico total e \({\rm{\Delta }}K\) é a mudança na energia cinética entre dois pontos. Neste sistema temos dois tipos de trabalho mecânico, um que é realizado pela força da gravidade sobre o fluido e outro que resulta da pressão do fluido. Seja \({W_g}\) o trabalho mecânico realizado pela gravidade e \({W_p}\) o trabalho mecânico realizado pela pressão, podemos então dizer que:
\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)
Como a gravidade é uma força conservativa, o trabalho mecânico realizado por ela será igual à diferença na energia potencial gravitacional entre dois pontos. A altura inicial em que o fluido se encontra é \({y_1}\) e a altura final é \({y_2}\), portanto, temos que:
\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)
Onde \({\rm{\Delta }}m\) é a porção da massa do fluido que passa por um determinado ponto e \(g\) é a aceleração da gravidade. Como o fluido ideal é incompressível, então \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Onde \(\rho \) é a densidade do fluido e \({\rm{\Delta }}V\) é a porção do volume que flui através de um ponto. Substituindo isso na equação anterior obtemos:
\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)
Consideremos agora o trabalho mecânico realizado pela pressão do fluido. Pressão é a força exercida por unidade de área, ou seja, \(F = PA\). Por outro lado, o trabalho mecânico é definido como \(W = F{\rm{\Delta }}x\) onde \(F\) é a força aplicada e \({\rm{\Delta }}x\) é o deslocamento realizado neste caso no eixo x. Neste contexto, podemos pensar em \({\rm{\Delta }}x\) como o comprimento da porção de fluido que passa por um determinado ponto. Juntando as duas equações temos que \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Podemos perceber que \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), ou seja, é a porção do volume que flui através do referido ponto. Portanto, temos que \(W = P{\rm{\Delta }}V\).
No ponto inicial, o trabalho mecânico é realizado no sistema que é igual a \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) e no ponto final o sistema realiza um trabalho mecânico no ambiente igual a \( { P_2}{\rm{\Delta }}V\). O trabalho mecânico devido à pressão do fluido será então o trabalho realizado no sistema menos o trabalho que ele realiza no seu ambiente, ou seja:
\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)
Finalmente, a diferença de energia cinética \({\rm{\Delta }}K\) será igual à energia cinética no ponto final menos a energia cinética no ponto inicial. Quer dizer que:
\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)
Pelo que foi mencionado acima, sabemos que \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). A equação anterior então se torna:
\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)
Substituindo todos os resultados obtidos na equação de conservação de energia, obtemos que:
\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)
Podemos fatorar o termo \({\rm{\Delta }}V\) em ambos os lados da equação, isso nos leva a:
\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \right)\)
Desenvolvendo os produtos que faltam, temos que:
\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)
Reorganizando todos os termos em ambos os lados da equação, obtemos que:
\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)
Esta equação é uma relação entre o estado inicial e o estado final do nosso sistema. Podemos finalmente dizer que:
\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = constante\)
Esta última equação é a Equação de Bernoulli da qual deriva seu princípio; é uma lei de conservação para um fluido ideal em movimento.
Artigo de: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado em Física. Cursando Mestrado em Engenharia e Física Biomédica.
Referencia autoral (APA): Zamora Ramírez, A.. (Fevereiro 2024). Conceito de Princípio/Equação de Bernoulli. Editora Conceitos. Em https://conceitos.com/principio-bernoulli/. São Paulo, Brasil.
